第八章 电子的自旋

8.1 电子自旋态与自旋算符

电子自旋的实验依据

• 碱金属原子光谱的双线结构、反常塞曼（Zeeman）效应、施特恩（Stern）- 格拉赫（Gerlach）实验等。（参照原⼦物理部分）
• 电子自旋在空间中任意方向上的投影只取$\pm \hbar/2$两个值，且电子是费米子。

自旋态的描述

• 考虑到自旋，电子的波函数应为$\psi(r,S_z)$。由于$S_z=\pm \hbar/2$（自旋角动量在z轴上的投影），经常使用二分量波函数来描述电子的状态。

$\psi(r,S_z)= \begin{pmatrix} \psi(r,\frac{\hbar}{2})\\ \psi(r,-\frac{\hbar}{2}) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \psi_1(r) \\ \psi_2(r) \end{pmatrix}$

​

此即为旋量（自旋）波函数。

• 波函数可分离变量（将自旋波函数提出）$$\psi(r,S_z)=\phi(r)\chi(S_z)$$

  • 自旋波函数一般形式：

$\chi(S_z)= \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} =a \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$

• 归一化条件：

$\chi^+\chi=(a*,b*)\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} =|a|^2+|b|^2=1$

• $S_z$的本征值为$m_s\hbar$，本征态为$\chi_{m_s}(S_z)$

$\chi_{\frac{1}{2}}(S_z)=|\uparrow\rangle= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$

$\chi_{-\frac{1}{2}}(S_z)=|\downarrow\rangle= \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$

• 旋量波函数：

$\psi(r,S_z)= \begin{pmatrix} \psi_1(r)\\ \psi_2(r) \end{pmatrix} =\psi_1(r) \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} +\psi_2(r) \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$

其中$|\psi_1(r)|^2$表示电子在位置$r$，且自旋向上的概率密度。

自旋算符

• 自旋角动量与轨道角动量平移对称

$\begin{cases} S^2|sm_s\rangle=s(s+1)\hbar^ 2|sm_s\rangle\\ S_z|sm_s\rangle=m_s\hbar|sm_s\rangle \end{cases}$

泡利（Pauli）算符

令 $S=\frac{\hbar}{2}\sigma$，则$\sigma$满足对易关系（由 $S\times S=i\hbar S$ 推出）$$\sigma\times \sigma=2i\sigma$$

显然： $\sigma_x=\sigma_y=\sigma_z=1$（单位算符）

• 三个分量彼此反对易：$[A,B]_+=AB+BA\equiv \{A,B\}$
• $\sigma_\alpha\sigma_\beta=\delta_{\alpha\beta}+i\varepsilon_{\alpha\beta\gamma}\sigma_\gamma$
• ⚠️重要的公式：$(\sigma\cdot A)(\sigma\cdot B)=A\cdot B+i\sigma\cdot(A\times B)$
  • 其中$A,B$是与$\sigma$对易的任何两个矢量

泡利（Pauli）矩阵

在 $z$ 表象中，由于$\sigma_z$ 的本征值为$\pm 1$，因此

$\sigma_z= \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

此时泡利矩阵为：

$\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

注意他们的轮换对称性。

8.2 总角动量的本征态

自旋轨道耦合

薛定谔方程是非相对论性的，因为其时空地位不对等。（求导次数左右不等）

• 修正：
  • 时空导数均改为二阶— Klein-Gordon 方程
  • 时空导数均改为一阶— Dirac 方程 （预言了正电子的存在）
• 在相对论量子力学中，电子满足 Dirac 方程。在非相对论极限（低速运动）下，对于中心力场 $V(r)$ 中运动的电子，Dirac 方程将自动给出自旋轨道耦合项：$$H=\frac{p^2}{2\mu}+V(r)+\xi(r)S\cdot L$$

电子的总角动量

令 $\overrightarrow{J}=\overrightarrow{L}+\overrightarrow{S}$，此即为总角动量。显然它也与轨道、自旋角动量平移对称。

$\begin{cases} J^2|jm_j\rangle=j(j+1)\hbar^ 2|jm_j\rangle \\ J_z|jm_j\rangle=m_j\hbar|jm_j\rangle \end{cases}$

此时：$j=l+\frac{1}{2},l-\frac{1}{2}$

力学量完全集

• 加上自旋，系统共有四个自由度，那么需要四个彼此互易算符来描述整个系统。

  可以证明：对于自旋轨道耦合系统$$H=\frac{p^2}{2\mu}+V(r)+\xi(r)S\cdot L$$

  力学量完全集为 $(H,L^2,J^2,J_z)$

$(L^2,J^2,J_z)$ 的共同本征态

共同本征态 $\phi_{ljm_j}(\theta,\varphi,S_z )$ 满足

$\begin{cases} L^2\phi_{ljm_j}=l(l+1)\hbar^2\phi_{ljm_j} \\ J^2\phi_{ljm_j}=j(j+1)\hbar^ 2\phi_{ljm_j} \\ J_z\phi_{ljm_j}=m_j\hbar\phi_{ljm_j} \end{cases}$

发现解的形式如下：

$\phi_{ljm_j}= \begin{pmatrix} aY_{lm} \\ bY_{l m+1} \end{pmatrix} =aY_{lm}\chi_{\frac{1}{2}}+bY_{l m+1}\chi_{-\frac{1}{2}}$

8.3 碱金属原子光谱的双线结构与反常塞曼效应

碱金属原子光谱的双线结构（无外磁场情形）

无外场时，只存在自旋轨道耦合。由总角动量$J$来描述，由于$J=L+S$ 有$l+1/2;l-1/2$ 两个取值，故部分原子产生了双线结构。

正常塞曼效应（强磁场情形）

强磁场下，自旋轨道耦合的作用忽略不计，谱线分裂完全由 $l,s$ 描述。

反常塞曼效应（弱磁场情形）

此时需要同时考虑自旋轨道耦合与外磁场影响，一般先进行精细结构分裂，再由 $m_j$ 的取值确定外磁场作用下的分裂。

8.4 自旋单态与三重态

两个电子自旋耦合：$S=S_1+S_2,s_1=s_2=\frac{1}{2}\Longrightarrow s=0,1$

因此有：$\chi_{00}=|00\rangle (s=0,m_s=0)$ 自旋单态

​ $\chi_{1m_s}=|1m_s\rangle (s=1,m_s=-1,0,1)$ 自旋三重态

自旋单态与三重态

考虑到两个电子体系是全同粒子体系，波函数必须具有交换对称性，即须组合为

$\chi_{00}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\rangle_1|\downarrow\rangle_2-|\downarrow\rangle_1|\uparrow\rangle_2)（自旋单态） \\ \begin{cases} \chi_{11}=|\uparrow\rangle_1|\uparrow\rangle_2\\ \chi_{10}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\rangle_1|\downarrow\rangle_2+|\downarrow\rangle_1|\uparrow\rangle_2)\\ \chi_{1-1}=|\downarrow\rangle_1|\downarrow\rangle_2 \end{cases}$

显然，自旋单态具有交换反对称性；而自旋三重态具有交换对称性。

• 电子是费米子，两个电子组成的体系的波函数为交换反对称。但体系的 自旋波函数既可以是交换反对称，也可以是交换对称。这是因为波函数由轨道函数和自旋函数两部分组成。

⚠️可以证明：$\chi_{10}$ 是属于 $s=1$ 的自旋本征态，即 $S^2\chi_{10}=2\hbar^2\chi_{10}$；而 $\chi_{00}$ 是属于$s=0$ 的自旋本征态，即 $S^2\chi_{00}=0.$

8.5 量子纠缠态

纠缠态

由两个粒子组成的复合体系的量子态，如果能够表示为每个粒子的量子态的乘积，则称为可分离态或者非纠缠态；反之，则称为纠缠态。

举例如下：

$\chi_{00}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\rangle_1|\downarrow\rangle_2-|\downarrow\rangle_1|\uparrow\rangle_2)（自旋单态） \\ \begin{cases} \chi_{11}=|\uparrow\rangle_1|\uparrow\rangle_2\\ \chi_{10}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\rangle_1|\downarrow\rangle_2+|\downarrow\rangle_1|\uparrow\rangle_2)\\ \chi_{1-1}=|\downarrow\rangle_1|\downarrow\rangle_2 \end{cases}$

显然 $\chi_{1-1},\chi_{11}$ 为非纠缠态；剩下两者为纠缠态

Bell 基

在量子信息理论中，把任何具有两种态的量子 体系称为一个量子比特。一个电子的自旋态就 是一个量子比特。

纠缠态的含义

对于两个粒子体系：不管两个粒子相隔多远，若测量粒子1的动量值为 $p$，则测量粒子2的动量值一定是 $-p$。两者之间有确切的统计关联，这就是纠缠态的非局域关联。人们就称这个量子态是$(p_1,p_2)$的纠缠态。